Question

某日用品按行業(yè)質量標準分成五個等級，等級系數X依次為1，2，3，4，5．現從一批該日用品中隨機抽取20件，對其等級系數進行統計分析，得到頻率分布表如下：

X	1	2	3	4	5
f	a	0.2	0.45	b	c

（Ⅰ）若所抽取的20件日用品中，等級系數為4的恰有3件，等級系數為5的恰有2件，求a、b、c的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，將等級系數為4的3件日用品記為x₁，x₂，x₃，等級系數為5的2件日用品記為y₁，y₂，現從x₁，x₂，x₃，y₁，y₂，這5件日用品中任取兩件（假定每件日用品被取出的可能性相同），寫出所有可能的結果，并求這兩件日用品的等級系數恰好相等的概率．

Answer 1

分析：（I）通過頻率分布表得推出a+b+c=0.35．利用等級系數為4的恰有3件，等級系數為5的恰有2件，分別求出b，c，然后求出a．
（II）根據條件列出滿足條件所有的基本事件總數，“從x₁，x₂，x₃，y₁，y₂，這5件日用品中任取兩件，等級系數相等”的事件數，求解即可．

解答：解：（I）由頻率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1，即a+b+c=0.35．
因為抽取的20件日用品中，等級系數為4的恰有3件，所以b=

3

20

=0.15
等級系數為5的恰有2件，所以c=

2

20

=0.1
從而a=0.35-0.1-0.15=0.1
所以a=0.1，b=0.15，c=0.1．
（II）從x₁，x₂，x₃，y₁，y₂，這5件日用品中任取兩件，所有可能的結果為：
{x₁，x₂}，{x₁，x₃}，{x₁，y₁}，{x₁，y₂}，{x₂，x₃}，{x₂，y₁}，{x₂，y₂}，{x₃，y₁}，{x₃，y₂}，{y₁，y₂}
設事件A表示“從x₁，x₂，x₃，y₁，y₂，這5件日用品中任取兩件，等級系數相等”，則A包含的基本事件為：
{x₁，x₂}，{x₁，x₃}，{x₂，x₃}，{y₁，y₂}共4個，
又基本事件的總數為：10
故所求的概率P（A）=

4

10

=0.4

點評：本題考查概率、統計等基本知識，考查數據處理能力、運算能力、應用意識．考查函數與方程思想、分類與整合思想、必然與或然思想．