Question

16．對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定義f″（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實數(shù)解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的圖象的“拐點”，可以證明，任何三次函數(shù)的圖象都有“拐點”，任何三次函數(shù)的圖象都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．請你根據(jù)這一結(jié)論判斷下列命題：
①任意三次函數(shù)都關(guān)于點（-$\frac{3a}$，f（-$\frac{3a}$））對稱；
②存在三次函數(shù)y=f（x），f（x）=0有實數(shù)解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的圖象的對稱中心；
③存在三次函數(shù)的圖象不止一個對稱中心；
④若函數(shù)g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{12}$，則g（$\frac{1}{2017}$）+g（$\frac{2}{2017}$）+g（$\frac{3}{2017}$）+…+g（$\frac{2016}{2017}$）=-1008
其中正確命題的序號為①②④（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 ①根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的對稱中心；
②③利用三次函數(shù)對稱中心的定義和性質(zhì)進行判斷；
④由函數(shù)g（x）的對稱中心是（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），得g（x）+（g（1-x）=-1，由此能求出答案．

解答 解：∵f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，f''（x）=6ax+2b，
∵f″（x）=6a×（-$\frac{3a}$）+2b=0，
∴任意三次函數(shù)都關(guān)于點（-$\frac{3a}$，f（-$\frac{3a}$））對稱，即①正確；
∵任何三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心，
∴存在三次函數(shù)f′（x）=0有實數(shù)解x₀，點（x₀，f（x₀））為y=f（x）的對稱中心，即②正確；
任何三次函數(shù)都有且只有一個對稱中心，故③不正確；
∵g′（x）=x²-x，g^″（x）=2x-1，
令g^″（x）=0，可得x=$\frac{1}{2}$，∴g（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$，
∴g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{12}$對稱中心為（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
∴g（x）+g（1-x）=-1，
∴g（$\frac{1}{2017}$）+g（$\frac{2}{2017}$）+g（$\frac{3}{2017}$）+…+g（$\frac{2016}{2017}$）=-=-1×1008=-1008，故④正確．
故答案為：①②④．

點評 本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查化簡計算能力，求函數(shù)的值以及函數(shù)的對稱性的應(yīng)用，屬于難題．