Question

7．某班一次數(shù)學(xué)測試成績的莖葉圖（莖上數(shù)代表十位，葉上數(shù)代表個位）如圖1所示．
（1）以10為組距，在圖2給定的坐標(biāo)系中畫出該班成績的頻率分布直方圖；
（2）用分層抽樣的方法抽取一個容量為8的樣本，在樣本中從分?jǐn)?shù)在[60，80）之間的試卷中任取3份分析學(xué)生失分情況，設(shè)抽取的試卷分?jǐn)?shù)在[70，80）的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由莖葉圖，作出頻率分布表，由頻率分布表作出頻率分布直方圖．
（2）由莖葉圖知分?jǐn)?shù)在[60，70）的有8人，分?jǐn)?shù)在[70，80）的有12人，全班人數(shù)為32人，用分層抽樣的方法抽取一個容量為8的樣本，應(yīng)該在分?jǐn)?shù)為[60，70）的試卷中抽取2份，在分?jǐn)?shù)為[70，80）的試卷中抽取3份，則X的可能取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能示出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）由莖葉圖，作出頻率分布表：

分組	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
頻數(shù)	4	8	12	4	4
頻率	$\frac{1}{8}$	$\frac{2}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$

由頻率分布表作出頻率分布直方圖：

（2）由莖葉圖知分?jǐn)?shù)在[60，70）的有8人，
分?jǐn)?shù)在[70，80）的有12人，全班人數(shù)為32人，
用分層抽樣的方法抽取一個容量為8的樣本，
應(yīng)該在分?jǐn)?shù)為[60，70）的試卷中抽取$\frac{8}{32}×8=2$份，
在分?jǐn)?shù)為[70，80）的試卷中抽取$\frac{8}{32}×12=3份$，
則X的可能取值為1，2，3，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{1}{10}$，
∴X的分布列為：

X	1	2	3
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

E（X）=$1×\frac{3}{10}+2×\frac{3}{5}+3×\frac{1}{10}$=1.8．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．