Question

函數(shù)f(x)=

x

x+1

的單調(diào)增區(qū)間是______．

Answer 1

函數(shù)f(x)=

x

x+1

的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-1），（-1，+∞）．
事實上，
函數(shù)f(x)=

x

x+1

的定義域為（-∞，-1）∪（-1，+∞）．
當(dāng)x₁＜x₂＜-1時，
f(x1)-f(x2)=

x1

x1+1

-

x2

x2+1

=

x1(x2+1)-x2(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=

x1x2+x1-x1x2-x2

(x1+1)(x2+1)

=

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

．
∵x₁＜x₂＜-1，∴x₁+1＜0，x₂+1＜0，x₁-x₂＜0．
∴

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

＜0．
則f（x₁）＜f（x₂）．
所以函數(shù)f(x)=

x

x+1

在區(qū)間（-∞，-1）上為增函數(shù)；
當(dāng)x₁＞x₂＞-1時，
f(x1)-f(x2)=

x1

x1+1

-

x2

x2+1

=

x1(x2+1)-x2(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=

x1x2+x1-x1x2-x2

(x1+1)(x2+1)

=

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

．
∵x₁＞x₂＞-1，∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＞0．
∴

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

＞0．
則f（x₁）＞f（x₂）．
所以函數(shù)f(x)=

x

x+1

在區(qū)間（-1，+∞）上為增函數(shù)．
綜上，函數(shù)f(x)=

x

x+1

的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-1），（-1，+∞）．
故答案為（-∞，-1），（-1，+∞）．