Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+1有相異零點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂），函數(shù)g（x）=a²x²+bx+1有相異零點(diǎn)x₃，x₄（x₃＜x₄），若a＞1，求證：x₁＜x₃＜x₄＜x₂．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)：F（x）=f（x）-1，G（x）=g（x）-1，通過(guò)討論它們的零點(diǎn)，得出它們的根之間的大小關(guān)系．然后通過(guò)分類討論和在同一坐標(biāo)系里作出F（x）和G（x）的圖象，然后將兩個(gè)圖象向上平移一個(gè)單位，可得x₁，x₂，x₃，x₄的大小關(guān)系，最后綜合可得出正確的大小關(guān)系．

解答： 證明：記函數(shù)F（x）=f（x）-1=ax²+bx，G（x）=g（x）-1=a²x²+bx
兩個(gè)函數(shù)有公共的零點(diǎn)x=0，此外F（x）還有一個(gè)零點(diǎn)x=-

b

a

，G（x）還有一個(gè)零點(diǎn)x=-

b

a2

，
①因?yàn)閍＞1，當(dāng)b＜0時(shí)，得必定有0＜-

b

a2

＜-

b

a

，
在同一坐標(biāo)系里作出F（x）和G（x）的圖象：

將此兩個(gè)圖象都上移一個(gè)單位，可得函數(shù)f（x）和g（x）的圖象，
所以由圖象可得x₁＜x₃＜x₄＜x₂
②當(dāng)b＞0時(shí)，同理可得四個(gè)根的大小關(guān)系：x₁＜x₃＜x₄＜x₂
綜上所述，可判斷x₁，x₂，x₃，x₄的大小關(guān)系為：x₁＜x₃＜x₄＜x₂．

點(diǎn)評(píng)：本題以一元二次方程的根的分布考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，所含字母參數(shù)較多，屬于難題．采用數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想解題，是本題解決的關(guān)鍵所在．