Question

1．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，BC=EF=1，AE=$\sqrt{6}$，DE=3，∠BAD=60°，G為BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：FG∥平面BED；
（Ⅱ）求證：平面BED⊥平面AED；
（Ⅲ）求直線EF與平面BED所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BD的中點(diǎn)為O，連結(jié)OE，OG，推導(dǎo)出四邊形OGFE是平行四邊形，從而FG∥OE，由此能證明FG∥平面BED．
（Ⅱ）由余弦定理得BD=$\sqrt{3}$，由勾股定理得BD⊥AD，從而BD⊥平面AED，由此能證明平面BED⊥平面AED．
（Ⅲ）由EF∥AB，知直線EF與平面BED所成角為直線AB與平面BED所成角，過點(diǎn)A作AH⊥DE于點(diǎn)H，連結(jié)BH，直線AB與平面BED所成角即為∠ABH，由此能求出直線EF與平面BED所成角的正弦值．

解答 證明：（Ⅰ）取BD的中點(diǎn)為O，連結(jié)OE，OG，
在△BCD中，∵G是BC的中點(diǎn)，
∴OG∥DC，且OG=$\frac{1}{2}DC$=1，
又∵EF∥AB，AB∥DC，∴EF∥OG，且EF=OG，
即四邊形OGFE是平行四邊形，∴FG∥OE，
又FG?平面BED，OE?平面BED，
∴FG∥平面BED．
（Ⅱ）在△ABD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，
由余弦定理得BD=$\sqrt{4+1-2×2×1×cos60°}$=$\sqrt{3}$，
∴AD²+BD²=AB²，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AD，
又∵平面AED⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，
∴BD⊥平面AED，
又∵平面BD?平面BED，
∴平面BED⊥平面AED．
解：（Ⅲ）∵EF∥AB，∴直線EF與平面BED所成角為直線AB與平面BED所成角，
過點(diǎn)A作AH⊥DE于點(diǎn)H，連結(jié)BH，
又∵平面BED∩平面AED=ED，
由（Ⅱ）知AH⊥平面BED，
∴直線AB與平面BED所成角即為∠ABH，
在△ADE中，AD=1，DE=3，AE=$\sqrt{6}$，
由余弦定理得cos∠ADE=$\frac{1+9-6}{2×1×3}$=$\frac{2}{3}$，
∴sin$∠ADE=\sqrt{1-（\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴AH=AD$•sin∠ADE=\frac{\sqrt{5}}{3}$，
在Rt△AHB中，sin$∠ABH=\frac{AH}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{6}$，
∴直線EF與平面BED所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{5}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查面面垂直的，考查線面角的正弦值的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．