Question

設(shè)M={(x，y)

x+y-3≥0 y≤4 x≤1

}，Q是x軸上一個動點，定點R（2，3），當點P在M所表示的平面區(qū)域內(nèi)運動時，設(shè)|PQ|+|QR|的最小值構(gòu)成的集合為S，則S中最大的數(shù)是

58

．

Answer 1

分析：先畫出滿足條件

x+y-3≥0 y≤4 x≤1

的平面區(qū)域，把|PQ|+|QR|可以取到的最小值問題轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的點P到M點的距離最小問題即可．

解答：解：由題可知不等式組確定的區(qū)域為陰影部分包括邊界，
R關(guān)于x軸對稱的點為M（2，-3），
又A（1，2），B（-1，4）．根據(jù)對稱性，把|PQ|+|QR|可以取到的最小值問題轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的點P到M點的距離最小值問題．
由圖可知：
則|PQ|+|QR|可以取到的最小值即為可行域內(nèi)的點A到M的距離，
即（|PQ|+|QR|）_min等于點A到M的距離，即為：|AM|=

26

，
|PQ|+|QR|可以取到的最大值即為可行域內(nèi)的點B到M的距離，
即（|PQ|+|QR|）_max等于點B到M的距離，即為：|BM|=

58

，
故|PQ|+|QR|的最小值構(gòu)成的集合為S=[

26

，

58

]，則S中最大的數(shù)是

58

．
故答案為：

58

．

點評：本題屬于線性規(guī)劃中的延伸題，對于可行域不要求線性目標函數(shù)的最值，而是求可行域內(nèi)的點與P之間的距離問題．屬于基礎(chǔ)題．