Question

設(shè)M={x∈R|y=lg（3-4x+x²）}，當(dāng)x∈M時，求f（x）=2^x+2-3×4^x的最大值及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，可求得M，將函數(shù)f（x）化簡后，令t=2^x，轉(zhuǎn)化為f（t）=-3t²+4t，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值及相應(yīng)的x的值即可．

解答：解：∵y=lg（3-4x+x²），
∴3-4x+x²＞0，
解得x＜1或x＞3，
∴M={x|x＜1，或x＞3}，
則f（x）=2^x+2-3×4^x=4×2^x-3×（2^x）²，
令2^x=t，
∵x＜1或x＞3，
∴t＞8或0＜t＜2，
∴f（t）=4t-3t²=-3t²+4t=-3（t-

2

3

）²+

4

3

（t＞8或0＜t＜2），
∴對稱軸為t=

2

3

，對應(yīng)的圖象是開口向下的拋物線，
又∵t=

2

3

∈（-∞，8）∪（0，2），
∴當(dāng)2^x=t=

2

3

，
即x=log₂

2

3

時，f（x）_max=

4

3

，
故當(dāng)x=log₂

2

3

時，
f（x）取到最大值為

4

3

．

點評：本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的定義域，以指數(shù)函數(shù)的最值的求解為載體進而考查了二次函數(shù)在區(qū)間上的最值班的求解，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在解題中的運用，是一道綜合性比較好的試題．屬于中檔題．