Question

對(duì)1個(gè)單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗，清洗前其清潔度（含污物體的清潔度定義為：1-）為0.8，要求洗完后的清潔度是0.99。有兩種方案可供選擇，方案甲：一次清洗；方案乙：兩次清洗.該物體初次清洗后受殘留水等因素影響，其質(zhì)量變?yōu)閍（1≤a≤3）。設(shè)用x單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是（x＞a-1），用y質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是，其中c（0.8＜c＜0.99）是該物體初次清洗后的清潔度，
（Ⅰ）分別求出方案甲以及c=0.95時(shí)方案乙的用水量，并比較哪一種方案用水量較少；
（Ⅱ）若采用方案乙，當(dāng)a為某定值時(shí)，如何安排初次與第二次清洗的用水量，使總用水量最少？并討論a取不同數(shù)值時(shí)對(duì)最少總用水量多少的影響。

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z，
由題設(shè)有=0.99，解得x=19，
由c=0.95得方案乙初次用水量為3，
第二次用水量y滿足方程：，
解得y=4a，故z=4a+3，
即兩種方案的用水量分別為19與4a+3，
因?yàn)楫?dāng)1≤a≤3時(shí)，，即x＞z，故方案乙的用水量較少；
（Ⅱ）設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為x與y，
類似（Ⅰ）得（*）
于是，
當(dāng)a為定值時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)，
將代入（*）式得，
故時(shí)總用水量最少，
此時(shí)第一次與第二次用水量分別為，最少總用水量是；
當(dāng)1≤a≤3時(shí)，，故T（a）是增函數(shù)，
這說明，隨著a的值的最少總用水量，最少總用水量最少總用水量。