Question

9．一個多面體的直觀圖及三視圖如圖1，2所示，其中 M，N 分別是 AF、BC 的中點．
（1）求證：MN∥平面 CDEF；
（2）求多面體的體積及表面積．

Answer 1

分析 由三視圖可知，該多面體是底面為直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，且底面是一個直角三角形，由三視圖中所標數(shù)據易計算出三棱柱中各棱長的值．
（1）取BF的中點G，連接MG、NG，利用中位線的性質結合線面平行的充要條件，易證明結論；
（2）利用所給數(shù)據即可求多面體的體積及表面積．

解答 （1）證明：由三視圖知，該多面體是底面為直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，且AB=BC=BF=4，DE=CF=$4\sqrt{2}$，∠CBF=90°
取BF的中點G，連接MG、NG，
由M，N分別為AF，BC的中點可得，NG∥CF，MG∥EF，
∴平面MNG∥平面CDEF，又MN?平面MNG，
∴MN∥平面CDEF．
（2）S=（4+4+4$\sqrt{2}$）×4+2×$\frac{1}{2}×4×4$=48+16$\sqrt{2}$，
V=$\frac{1}{2}×4×4×4$=32．

點評 本題考查的知識點是簡單空間圖形有三視圖、棱錐的體積及直線與平面平行的判定．根據三視圖判斷幾何體的形狀及線面之間的位置關系及長度（面積）大小是解答的關鍵．