Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角、的終邊分別與單位圓交于，兩點(diǎn)．

（1）如果，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求的值；

（2）若角的終邊與單位圓交于C點(diǎn)，設(shè)角、、的正弦線分別為，求證：線段能構(gòu)成一個(gè)三角形；

（3）探究第（2）小題中的三角形的外接圓面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明詳見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）由同角間基本關(guān)系式,由可得，據(jù)三角函數(shù)定義可得，，由兩角和的余弦公式將展開代入可得其值；（2）由題意知，，.再利用正余弦值證明兩邊之和大于第三邊和二邊之差小于第三邊,可判斷三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形；（3） 設(shè)的邊長分別為,由余弦定理可得,進(jìn)一步得,再由正弦定理,可得值.

試題解析:

（1）已知是銳角，根據(jù)三角函數(shù)的定義，得

又，且是銳角，所以．

所以．

（2）證明：依題意得，，，

因?yàn)?/span>，所以，，于是有

，①

又∵，

，②

同理，，③

由①，②，③可得，線段能構(gòu)成一個(gè)三角形.

（3）第（2）小題中的三角形的外接圓面積是定值，且定值為.

不妨設(shè)的邊長分別為，其中角、、的對(duì)邊分別為.則由余弦定理，得：.

因?yàn)?/span>，所以，所以，

設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，∴，

所以的外接圓的面積為.