Question

3．已知橢圓焦點(diǎn)F（0，c）與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)連線互相垂直，且焦距為2．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點(diǎn)C在直線l：y=x+2$\sqrt{2}$上，直線l′∥l，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)△ABC是等邊三角形時(shí)，求直線l′的方程．

Answer 1

分析 （1）作橢圓的圖象，從而可得b=c=1，a=$\sqrt{2}$；
（2）由題意作圖象，設(shè)直線l′的方程為y=x+b，從而聯(lián)立可得$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化簡(jiǎn)可得3x²+4bx+2b²-2=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），從而可得（x₁-x₂）²=$\frac{24-8^{2}}{9}$，而l與l′的距離d=$\frac{|b-2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$，由題意得d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AB|，從而解得．

解答 解：（1）作橢圓的圖象如右圖，
結(jié)合圖象及題意可得，
b=c=1，a=$\sqrt{2}$；
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）由題意作圖如右圖，
設(shè)直線l′的方程為y=x+b，
聯(lián)立可得，$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
消y得，3x²+4bx+2b²-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{4b}{3}$，x₁x₂=$\frac{1}{3}$（2b²-2）；
則（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂
=（-$\frac{4b}{3}$）²-4×$\frac{1}{3}$（2b²-2）
=$\frac{24-8^{2}}{9}$，
l與l′的距離d=$\frac{|b-2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$，
∵d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AB|，
∴2$\frac{|b-2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$•$\sqrt{2}$•|x₁-x₂|，
即|b-2$\sqrt{2}$|=$\sqrt{3}$•|x₁-x₂|，
故（b-2$\sqrt{2}$）²=3•$\frac{24-8^{2}}{9}$，
解得，b=0或b=$\frac{12\sqrt{2}}{11}$；
故直線l′的方程為y=x或y=x+$\frac{12\sqrt{2}}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷與應(yīng)用．