Question

設(shè)x，y∈（0，2]，且xy=2，若6-2x-y≥a（2-x）（4-y）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、（

  1

  2

  ，1]
• B、（-∞，1]
• C、[0，2）
• D、（-∞，-1]

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：求參數(shù)的取值范圍，采用分離參數(shù)法然后對關(guān)系式進行恒等變形，利用要使a≤f（x）恒成立，只需滿足a≤f（x）_min 即可．

解答： 解：∵x，y∈（0，2]，∴（2-x）（4-y）＞0  設(shè) f（x）=

6-2x-y

(2-x)(4-y)

  
要使6-2x-y≥a（2-x）（4-y）恒成立，只需滿足a≤f（x）_min 即可 
由于xy=2  f（x）=

6-2x-y

(2-x)(4-y)

=

6-2x- 2 x

10-4x- 4 x

=

(x+ 1 x )-3

2(x+ 1 x )-5

設(shè)x+

1

x

=t   則f（t）=

t-3

2t-5

進一步分離常數(shù)得到f（t）=

1

2

-

1 2

2t-5

，當(dāng)t取最小值時，f（t）取得最小值
由于 x+

1

x

=t，利用均值不等式x+

1

x

≥2  即x=1等號成立
f（x）_min=f（1）=1
即a≤1
 故選：B

點評：本題在解答的過程中利用到分離參數(shù)法，代數(shù)式的恒等變形問題，以及均值不等式等知識，要求要有較好的運算能力