Question

已知函數(shù).

（Ⅰ）若曲線在點處的切線與直線垂直，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若對于都有成立，試求的取值范圍；

（Ⅲ）記.當時，函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（I）的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是．  

（II）的范圍是

（III）的取值范圍是． 

【解析】本題考查導數(shù)的幾何意義；切點處的導數(shù)為切線斜率；用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間：導數(shù)大于0對應區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間；導數(shù)小于0對應區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間；用導數(shù)求最值及恒成立問題．

（I） 直線的斜率為1.函數(shù)的定義域為，，所以，所以．所以．.由解得；由解得.

所以的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是．  ……………………4分

（II） ，由解得；由解得.

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減所以當時，函數(shù)取得最小值，.因為對于都有成立，所以即可.則．由解得．  所以的范圍是.8分

（III）依題得，則.由解得；由解得所以函數(shù)在區(qū)間為減函數(shù)，在區(qū)間為增函數(shù)．又因為函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，所以

解得.所以的取值范圍是．