【題目】已知曲線上的點到點的距離比它到直線的距離小2.
(1)求曲線的方程;
(2)過點且斜率為的直線交曲線于, 兩點,若,當(dāng)時,求的取值范圍.
【答案】(1);(2)
【解析】試題分析:(1)由題意得曲線是以為焦點,以為準線的拋物線,進而可得其方程為;(2)設(shè)直線為,代入拋物線方程消去可得,設(shè), ,則,由,得,又,可構(gòu)造,由函數(shù)的單調(diào)性可得,即,解得,即為所求。
試題解析:(1)由題意得動點到的距離等于它到直線的距離,
∴ 動點的軌跡是以為焦點,以為準線的拋物線,
設(shè)其方程為,由條件得.
∴ 曲線的標準方程為;
(2)由題意設(shè)直線的方程為,
由消去y整理得,
∵ 直線與拋物線相交,∴,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則,
∵,即,
∴,∴,
由可得
,
即,
∵,∴。
設(shè) ,則函數(shù)在上單調(diào)遞減。
∴,即。
由得,滿足。
∴的取值范圍為。
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【題目】如圖,正方體的棱長為 1, 為的中點, 為線段上的動點,過點A、P、Q的平面截該正方體所得的截面記為.則下列命題正確的是__________(寫出所有正確命題的編號).
①當(dāng)時, 為四邊形;②當(dāng)時, 為等腰梯形;③當(dāng)時, 為六邊形;④當(dāng)時, 的面積為.
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【題目】如圖,直三棱柱中, 、分別是棱、的中點,點在棱上,已知, , .
(1)求證: 平面;
(2)設(shè)點在棱上,當(dāng)為何值時,平面平面?
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【題目】已知點M是圓心為E的圓上的動點,點,線段MF的垂直平分線交EM于點P.
(Ⅰ)求動點P的軌跡C的方程;
(Ⅱ)過原點O作直線交(Ⅰ)中軌跡C于點A、B,點D滿足,試求四邊形AFBD的面積的取值范圍.
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【題目】如圖,在三棱錐D-ABC中,已知△BCD是正三角形,AB⊥平面BCD,AB=BC=a,E為BC的中點,F在棱AC上,且AF=3FC
(1)求三棱錐D-ABC的體積
(2)求證:平面DAC⊥平面DEF;
(3)若M為DB中點,N在棱AC上,且CN=CA,求證:MN∥平面DEF
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【題目】在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中, ,且成等差數(shù)列.
(1)求等比數(shù)列的通項公式;
(2)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項和的最大值.
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【題目】已知坐標平面上點與兩個定點, 的距離之比等于5.
(1)求點的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形;
(2)記(1)中的軌跡為,過點的直線被所截得的線段的長為8,求直線的方程.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=
(1)若對,f(x) 恒成立,求的取值范圍;
(2)已知常數(shù)aR,解關(guān)于x的不等式f(x) .
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【題目】從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭,獲得第i個家庭的月收入xi(單位:千元)與月儲蓄yi(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料,算得=80, =20, =184, =720.
(1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y=bx+a;
(2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負相關(guān);
(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元,預(yù)測該家庭的月儲蓄.
附:線性回歸方程y=bx+a中, ,a=-b,其中, 為樣本平均值.
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