Question

15．已知函數(shù)f（x）=sin（π-ωx）cosωx+cos²ωx（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的$\frac{1}{2}$，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{16}$]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性求得ω的值．
（2）利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性、定義域和值域求得函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{16}$]上的最小值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=sin（π-ωx）cosωx+cos²ωx=sinωx•cosωx+$\frac{1+cos2ωx}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$（ω＞0）的最小正周期為$\frac{2π}{2ω}$=π，∴ω=1．
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的$\frac{1}{2}$，縱坐標(biāo)不變，
得到函數(shù)y=g（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（4x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$的圖象．
x∈[0，$\frac{π}{16}$]，4x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，sin（4x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
故當(dāng)4x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$時(shí)，f（x）取得最小值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的周期性、定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．