Question

5．已知雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，焦距為2c，直線$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（x+c）$與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)P滿足∠PF₂F₁=2∠PF₁F₂，則雙曲線的離心率e為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $2\sqrt{3}+1$
• D． $\sqrt{3}+1$

Answer 1

分析 由題意∠F₁PF₂=90°，利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得到|PF₂|=c，|PF₁|=$\sqrt{3}$c，再利用雙曲線的定義及離心率的計(jì)算公式即可得出．

解答 解：如圖所示，∠PF₂F₁=2∠PF₁F₂=60°，∠F₁PF₂=90°，
∴|PF₂|=c，|PF₁|=$\sqrt{3}$c，
由雙曲線的定義可得：|PF₁|-|PF₂|=2a，
∴$\sqrt{3}c-c=2a$，
解得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}+1$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系、雙曲線的定義、離心率的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．