若正數(shù)x，y滿足x+y=1，且
1
x
+
a
y
≥4對任意x，y∈（0，1）恒成立，則正數(shù)a的取值范圍是
 
．
考點：基本不等式
專題：不等式的解法及應用
分析：利用基本不等式的性質(zhì)可得
1
x
+
a
y
=（x+y）(
1
x
+
a
y
)=1+a+
y
x
+
ax
y
≥1+a+2
y
x
•
ax
y
=1+a+2
a
，由于
1
x
+
a
y
≥4對任意x，y∈（0，1）恒成立，可得4≤(
1
x
+
a
y
)min，解出即可．
解答： 解：∵正數(shù)x，y滿足x+y=1，
∴
1
x
+
a
y
=（x+y）(
1
x
+
a
y
)=1+a+
y
x
+
ax
y
≥1+a+2
y
x
•
ax
y
=1+a+2
a
，當且僅當y=
a
x時取等號．
∵
1
x
+
a
y
≥4對任意x，y∈（0，1）恒成立，
∴1+a+2
a
≥4，
化為(
a
)2+2
a
-3≥0，即(
a
+3)(
a
-1)≥0
解得a≥1．
∴正數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．
故答案為：[1，+∞）．
點評：本題考查了基本不等式的性質(zhì)、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法、一元二次不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=Asin（ωx+∅）（A＞0，ω＞0，|∅|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，若將f（x）圖象上所有點的橫坐標縮短來原來的
1
2
倍（縱坐標不變），得到函數(shù)g（x）的圖象，則g（x）的解析式為（　�。�
A、y=sin（4x+
π
6
）
B、y=sin（4x+
π
3
）
C、y=sin（x+
π
6
）
D、y=sin（x+
π
12
）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

解關于x的不等式
(a-1)x-a-1
2x-1
≤0（其中a≠-3）．

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如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中點．
（1）證明：平面PAD⊥平面PCD；
（2）求AC與PB所成的角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知奇函數(shù)f（x）的定義域為[-2，2]，且在區(qū)間[-2，0]內(nèi)遞減，求滿足：f（1-m）+f（1-2m）＜0的實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知等比數(shù)列{an}中，各項都是正數(shù)，且a2，
1
2
a4，2a3成等差數(shù)列，則
a7+a8
a5+a6
=（　�。�
A、1+
2
B、1-
2
C、3+2
2
D、3-2
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

點（x，y）在直線x+4y-2=0上，則3x+81y+3最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

多項式中x3-2x2y2+xy+1，次數(shù)最高的項是
 
，它的系數(shù)是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={y|y=x2-2x+3，x∈[-1，2]}，B={x|y=ln[（x-m）2-9]}
（1）若m=1，求A∪（∁RB）；
（2）若A∩B=A，求實數(shù)m的取值范圍．

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