Question

14．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知側(cè)按AA₁⊥底面ABC，且四邊形AA₁B₁B是邊長為2的正方形，CA=CB，點M為棱AB的中點，點E，F(xiàn)分別在按AA₁，A₁B₁上
（Ⅰ）若點F為棱A₁B₁的中點，證明：平面ABC₁⊥平面CMF
（Ⅱ）若AE=$\frac{1}{2}$，A₁F=$\frac{3}{4}$，且CA⊥CB，求直線AC₁與平面CEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出AA₁⊥AB，AB⊥FM，CM⊥AB，從而AB⊥平面CMF，由此能證明平面ABC₁⊥平面CMF．
（Ⅱ）記線段A₁B₁的中點為N，連結(jié)MN，以M為原點，MC為x軸，MA為y軸，MN為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AC₁與平面CEF所成角的正弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵AA₁B₁B是邊長為2的正方形，∴AA₁⊥AB，
又在正方形ABB₁A₁中，F(xiàn)，M分別是線段A₁B₁，AB的中點，
∴FM∥A₁A，∴AB⊥FM，
在△ABC中，CA=CB，且點M是線段AB的中點，
∴CM⊥AB，
又CM∩FM=M，∴AB⊥平面CMF，
又AB?平面ABC₁，∴平面ABC₁⊥平面CMF．
解：（Ⅱ）在等腰△CAB中，由CA⊥CB，AB=2，知CA=CB=$\sqrt{2}$，且CM=1，
記線段A₁B₁的中點為N，連結(jié)MN，
由（Ⅰ）知MC、MA、MN兩兩互相垂直，
以M為原點，MC為x軸，MA為y軸，MN為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則C（1，0，0），E（0，1，$\frac{1}{2}$），F(xiàn)（0，$\frac{1}{4}$，2），A（0，1，0），C₁（1，0，2），
$\overrightarrow{CE}$=（-1，1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{EF}$=（0，-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（1，-1，2），
設(shè)平面CEF的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=-x+y+\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=-\frac{3}{4}y+\frac{3}{2}z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{n}$=（5，4，2），
設(shè)直線AC₁與平面CEF所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{A{C}_{1}}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{A{C}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|5-4+4|}{\sqrt{6}•\sqrt{45}}$=$\frac{\sqrt{30}}{18}$，
∴直線AC₁與平面CEF所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{30}}{18}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查線面角、空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．