Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，四個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，AC與BD的交點(diǎn)為O，E為側(cè)棱SC上一點(diǎn)．
（1）當(dāng)E為側(cè)棱SC的中點(diǎn)時(shí)，求證：SA∥平面BDE；
（2）求證：平面BED⊥平面SAC．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OE，當(dāng)E為側(cè)棱SC的中點(diǎn)時(shí)，OE為△SAC的中位線，所以SA∥OE，由此能夠證明SA∥平面BDE．
（2）因?yàn)?nbsp;SB=SD，O是BD中點(diǎn)，所以BD⊥SO，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以BD⊥AC，因?yàn)锳C∩SO=O，所以BD⊥平面SAC．由此能夠證明平面BDE⊥平面SAC．
解答：（本小題滿分12分）
證明：（1）連接OE，當(dāng)E為側(cè)棱SC的中點(diǎn)時(shí)，OE為△SAC的中位線，
所以SA∥OE，（3分）
因?yàn)镾A?平面BDE，OE?平面BDE，
所以SA∥平面BDE．（5分）
（2）因?yàn)镾B=SD，O是BD中點(diǎn)，
所以BD⊥SO，（7分）
又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以BD⊥AC，（9分）
因?yàn)锳C∩SO=O，所以BD⊥平面SAC．（11分）
又因?yàn)锽D?平面BDE，
所以平面BDE⊥平面SAC．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查SA∥平面BDE和平面BED⊥平面SAC的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意把空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題進(jìn)行求解．