如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB⊥側(cè)面BB1C1C,AB=BC=1,BB1=2,∠BCC1=
π
3

(1)求四棱錐A1-BB1C1C的體積;
(2)求證:C1B⊥平面ABC.
考點(diǎn):棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定
專題:綜合題,空間位置關(guān)系與距離
分析:(1)利用錐體的體積公式,即可求解;
(2)證明C1B⊥平面ABC,根據(jù)本題條件,需要證明BC1AB⊥,由AB⊥側(cè)面BB1C1C就可以解決;而要證明C1B⊥BC,則需要通過解三角形來證明.
解答: (1)解:∵AB⊥側(cè)面BB1C1C,且AB∥A1B1,∴四棱錐的高h(yuǎn)=AB=1 …(2分)
又S底面=2•
1
2
CB•CC1•sin∠C1CB=
3
…(4分)
∴四棱錐的體積為
1
3
3
•1=
3
3
…(6分)
(2)證明:在△BCC1中,
∵BC=1,CC1=2,∠BCC1=
π
3
,
∴BC1=
1+4-2•1•2•
1
2
=
3
,
∴∠CBC1=90°,∴BC⊥BC1,
∵AB⊥側(cè)面BB1C1C,BC1?面BB1C1C,
∴BC1⊥AB,
∵AB∩BC=B,∴BC1⊥平面ABC.…(12分)
點(diǎn)評:本題考查線面垂直、線線垂直,考查錐體體積的計算,考查學(xué)生分析解決問題的能力,正確運(yùn)用線面垂直的判定定理是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知A(-1,2),B(2,8),
(1)若
AC
=
1
3
AB
,
DA
=-
2
3
AB
,求
CD
的坐標(biāo);
(2)設(shè)G(0,5),若
AE
BG
,
BE
BG
,求E點(diǎn)坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點(diǎn)P0(x0,y0)在雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)內(nèi),求過P0的弦中點(diǎn)的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足2
CA
CB
=c2-(a+b)2
(1)求角C的大小;
(2)求2
3
cos2
A
2
-sin(
3
-B)的最大值,并求取得最大值時角A,B的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖:在二面角α-l-β中,A、B∈α,C、D∈l,ABCD為矩形,p∈β,PA⊥α且PA=AD,M、N依次是AB、PC的中點(diǎn),
(1)求二面角α-l-β的大。
(2)求異面直線MN與l所成的角的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為3的正方形,平面PCD⊥底面ABCD,E是PC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:PA∥平面BDE;
(Ⅱ)若PD=PC=
2
2
DC,求證:平面PDA⊥平面PCB;
(Ⅲ)若側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=4.求△PAD以PA為軸旋轉(zhuǎn)所圍成的幾何體體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

橢圓G的中心為原點(diǎn)O,A(4,0)為橢圓G的一個長軸端點(diǎn),F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn),直線l經(jīng)過點(diǎn)E(2,0),與橢圓G交于B、C兩點(diǎn),當(dāng)直線l垂直x軸時,|BC|=6.
(Ⅰ)求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若AC∥BF,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四邊形ABCD是邊長為1的正方形,ED⊥平面ABCD,F(xiàn)B⊥平面ABCD,且ED=FB=1.
(Ⅰ)求多面體ABCDEF的體積;
(Ⅱ)在線段AF上是否存在點(diǎn)S,使得平面SBC⊥平面AEF?若存在,求點(diǎn)S的位置;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點(diǎn)P是面積為1的△ABC內(nèi)一點(diǎn)(不含邊界),若△PAB,△PBC,△PCA的面積分別為x,y,z,則
y+z
x
+
1
y+z
的最小值為
 

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