在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足2
CA
•
CB
=c2-（a+b）2．
（1）求角C的大小；
（2）求2
3
cos2
A
2
-sin（
4π
3
-B）的最大值，并求取得最大值時角A，B的大小．
考點：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運算
專題：解三角形
分析：（1）已知等式左邊利用平面向量的數(shù)量積運算法則計算，右邊利用完全平方公式展開，整理后利用余弦定理化簡求出cosC的值，即可確定出C的度數(shù)；
（2）由C的度數(shù)求出A+B的度數(shù)，用B表示出A，原式第一項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，第二項利用誘導公式化簡后將表示出的A代入，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域確定出最大值，以及此時A與B的度數(shù)．
解答： 解：（1）由已知得：2abcosC=c2-a2-b2-2ab，
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC得：4abcosC=-2ab，
∴cosC=-
1
2
，
∵C為三角形內(nèi)角，
∴C=
2π
3
；
（2）∵C=
2π
3
，A+B+C=π，
∴A+B=
π
3
，即A=
π
3
-B，即0＜A＜
π
3
，
2
3
cos2
A
2
-sin（
4π
3
-B）=2
3
•
1+cosA
2
+sin（
π
3
-B）=
3
+
3
cosA+sinA=
3
+2sin（A+
π
3
），
∵0＜A＜
π
3
，∴
π
3
＜A+
π
3
＜
2π
3
，
當A+
π
3
=
π
2
，即A=
π
6
時，2
3
cos2
A
2
-sin（
4π
3
-B）的最大值為2+
3
，此時B=
π
3
-A=
π
6
，
則2
3
cos2
A
2
-sin（
4π
3
-B）的最大值為2+
3
，取得最大值時A=B=
π
6
．
點評：此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=alnx+bx（a＞0），g（x）=x2
（1）若f（1）=g（1），f′（1）=g′（1），是否存在k和m，使得f（x）≤kx+m，g（x）≥kx+m？若存在，求出k和m的值，若不存在，說明理由
（2）設G（x）=g（x）-f（x）+2有兩個零點x1，x2，且x1，x0，x2成等差數(shù)列，G′（x）是G（x）的導函數(shù)，求證：G′（x0）＞0．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=x-
4-x2
，求值域．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設a，b為正實數(shù)，若|
a
-
b
|=1，試判斷|a-b|與1的大小關系并證明．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在棱錐P-ABC中，PO⊥平面ABC，PA=PB=BC=3，AD=BD=1，PO=2．
（1）證明：CD⊥AB
（2）求棱錐P-ABC的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E、F分別為A1C1、BC的中點，AC與平面BCC1B1所成角為45°．
（1）求證：C1F∥平面ABE；
（2）求三棱錐B-AFC1的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB⊥側(cè)面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=
π
3
．
（1）求四棱錐A1-BB1C1C的體積；
（2）求證：C1B⊥平面ABC．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線y2=4
2
x的焦點為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點，且橢圓的長軸長為4，左右頂點分別為A，B，經(jīng)過橢圓左焦點的直線l與橢圓交于C、D兩點．
（Ⅰ）求橢圓標準方程；
（Ⅱ）記△ABD與△ABC的面積分別為S1和S2，且|S1-S2|=2，求直線l方程；
（Ⅲ）若M（x1，y1）N（x2，y2）是橢圓上的兩動點，且滿x1x2+2y1y2=0，動點P滿足
OP
=
OM
+2
ON
（其中O為坐標原點），是否存在兩定點F1，F(xiàn)2使得|PF1|+|PF2|為定值，若存在求出該定值，若不存在說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：xy-1+x-y=
 
．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案