Question

 如圖，四棱錐中，側面是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面是的菱形，為的中點.

(Ⅰ)求與底面所成角的大��；

(Ⅱ)求證：平面；

(Ⅲ)求二面角的余弦值.

Answer 1

解：（3分+3分+3分）

 (I)取DC的中點O，由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC．

又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O．

連結OA，則OA是PA在底面上的射影．∴∠PAO就是PA與底面所成角．

∵∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，從而求得OA=OP=．

∴∠PAO=45°．∴PA與底面ABCD可成角的大小為45°．

(II)由底面ABCD為菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC．

建立空間直角坐標系如圖，

則, ．

由M為PB中點，∴．

∴．

∴，

．

∴PA⊥DM，PA⊥DC．   ∴PA⊥平面DMC．                             

(III)．

令平面BMC的法向量，

則，從而x+z=0；  ……①, 

，從而． ……②

由①、②，取x=−1，則．   ∴可取．

由(II)知平面CDM的法向量可取，

∴．

 ∴所求二面角的余弦值為－．

法二：（Ⅰ）方法同上                              

（Ⅱ）取的中點，連接，由（Ⅰ）知，在菱形中，由于，則，又，則，即，

又在中，中位線，，則，則四邊形為，所以，在中，，則，故而，

則

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，則為二面角的平面角，在中，易得，，

故，所求二面角的余弦值為