設(shè)橢圓方程為=1,求點M(0,1)的直線l交橢圓于點A、B,O為坐標(biāo)原點,點P滿足,當(dāng)l繞點M旋轉(zhuǎn)時,求動點P的軌跡方程.
【答案】分析:設(shè)出直線l的方程,A,B的坐標(biāo),聯(lián)立直線與橢圓的方程,利用韋達(dá)定理表示出x1+x2,利用直線方程表示出y1+y2,然后利用 求得 的坐標(biāo),設(shè)出P的坐標(biāo),然后聯(lián)立方程消去參數(shù)k求得x和y的關(guān)系式,P點軌跡可得.
解答:解:設(shè)P(x,y)是所求軌跡上的任一點,
①當(dāng)斜率存在時,直線l的方程為y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
橢圓:4x2+y2-4=0
由直線l:y=kx+1代入橢圓方程得到:
(4+k2)x2+2kx-3=0,
x1+x2=-,y1+y2=,
得:
(x,y)=(x1+x2,y1+y2),
即:
消去k得:4x2+y2-y=0
當(dāng)斜率不存在時,AB的中點為坐標(biāo)原點,也適合方程
所以動點P的軌跡方程為:4x2+y2-y=0.
點評:本小題主要考查平面向量的概念、直線方程的求法、橢圓的方程和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,以及軌跡的求法與應(yīng)用、曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力.
練習(xí)冊系列答案
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