Question

17．已知函數(shù)f（x）=cos$\frac{x}{2}$sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²$\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
（Ⅰ）求f（x）在區(qū)間[0，π]內(nèi)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x₀）=$\frac{2}{5}$，x₀∈[0，$\frac{π}{2}$]，求sinx₀的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求f（x）在區(qū)間[0，π]內(nèi)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)求解即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=cos$\frac{x}{2}$sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²$\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=cos$\frac{x}{2}$（$\frac{1}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos$\frac{x}{2}$）-$\sqrt{3}$cos²$\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{4}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{1+cosx}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{2}$sin（x-$\frac{π}{3}$）．
x∈[0，π]，x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
令t=x-$\frac{π}{3}$，y=sint在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]內(nèi)的單調(diào)增函數(shù)；
y=sint在$[\frac{π}{2}，\frac{2π}{3}]$上單調(diào)減函數(shù)，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[0，$\frac{5π}{6}$]，單調(diào)減區(qū)間是[$\frac{5π}{6}$，π]．
（Ⅱ）f（x₀）=$\frac{2}{5}$，x₀∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x₀）=$\frac{1}{2}$sin（x₀-$\frac{π}{3}$）=$\frac{2}{5}$，
可得sin（x₀-$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$，cos（x₀-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（{x}_{0}-\frac{π}{3}）}$=$\frac{3}{5}$，
sinx₀=sin[（x₀-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{5}$$+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，兩角和與差的三角函數(shù)，正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查計(jì)算能力．