17.已知函數(shù)f(x)=cos$\frac{x}{2}$sin($\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$)-$\sqrt{3}$cos2$\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$.
(Ⅰ)求f(x)在區(qū)間[0,π]內(nèi)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若f(x0)=$\frac{2}{5}$,x0∈[0,$\frac{π}{2}$],求sinx0的值.

分析 (Ⅰ)求f(x)在區(qū)間[0,π]內(nèi)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)利用同角三角函數(shù)基本關系式以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡求解即可.

解答 解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)=cos$\frac{x}{2}$sin($\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$)-$\sqrt{3}$cos2$\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=cos$\frac{x}{2}$($\frac{1}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos$\frac{x}{2}$)-$\sqrt{3}$cos2$\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{4}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{1+cosx}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{2}$sin(x-$\frac{π}{3}$).
x∈[0,π],x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$,$\frac{2π}{3}$],
令t=x-$\frac{π}{3}$,y=sint在[-$\frac{π}{3}$,$\frac{π}{2}$]內(nèi)的單調(diào)增函數(shù);
y=sint在$[\frac{π}{2},\frac{2π}{3}]$上單調(diào)減函數(shù),
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間是[0,$\frac{5π}{6}$],單調(diào)減區(qū)間是[$\frac{5π}{6}$,π].
(Ⅱ)f(x0)=$\frac{2}{5}$,x0∈[0,$\frac{π}{2}$],f(x0)=$\frac{1}{2}$sin(x0-$\frac{π}{3}$)=$\frac{2}{5}$,
可得sin(x0-$\frac{π}{3}$)=$\frac{4}{5}$,cos(x0-$\frac{π}{3}$)=$\sqrt{1-si{n}^{2}({x}_{0}-\frac{π}{3})}$=$\frac{3}{5}$,
sinx0=sin[(x0-$\frac{π}{3}$)+$\frac{π}{3}$]=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{5}$$+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$.

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡求值,兩角和與差的三角函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法,考查計算能力.

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