Question

如圖，已知兩個正方行ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點．

(Ⅰ)若平面ABCD⊥平面DCEF，求直線MN與平面DCEF所成角的正值弦；

(Ⅱ)用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解法一： 　　取CD的中點G，連接MG，NG． 　　設正方形ABCD，DCEF的邊長為2， 　　則MG⊥CD，MG＝2，NG＝． 　　因為平面ABCD⊥平面DCED， 　　所以MG⊥平面DCEF， 　　可得∠MNG是MN與平面DCEF所成的角．因為MN＝，所以sin∠MNG＝為MN與平面DCEF所成角的正弦值 　　解法二： 　　設正方形ABCD，DCEF的邊長為2，以D為坐標原點，分別以射線DC，DF，DA為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標系如圖． 　　則M(1，0，2)，N(0，1，0)，可得＝(－1，1，2)． 　　又＝(0，0，2)為平面DCEF的法向量， 　　可得cos(，)＝ 　　所以MN與平面DCEF所成角的正弦值為 　　cos 　　(Ⅱ)假設直線ME與BN共面， 　　則AB平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于EN 　　由已知，兩正方形不共面，故AB平面DCEF． 　　又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF．面EN為平面MBEN與平面DCEF的交線， 　　所以AB∥EN． 　　又AB∥CD∥EF， 　　所以EN∥EF，這與EN∩EF＝E矛盾，故假設不成立． 　　所以ME與BN不共面，它們是異面直線