Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若銳角C滿足tan2C=-
（1）求sinC的值；（2）當(dāng)a=2，c=4，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由C為銳角，得到C的范圍，進(jìn)而得到2C的范圍，可得出cos2C小于0，由tan2C的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos2C的值，再根據(jù)二倍角的余弦函數(shù)公式求出sinC的值即可；
（2）由（1）求出的sinC的值及C為銳角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosC的值，再由a與c的值，利用余弦定理列出關(guān)于b的方程，求出方程的解得到b的值，由a，b及sinC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．
解答：解：（1）∵C為銳角，即C∈（0，90°），
∴2C∈（90°，180°），又tan2C=-，
∴cos2C=-=-，
又cos2C=1-2sin²C，
∴sin²C==，且C為銳角，
則sinC=；
（2）由（1）得：sinC=，
∴cosC==，且a=2，c=4，
根據(jù)余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得：16=4+b²-b，即b²-b-12=0，
解得：b=2或b=-（舍去），
則△ABC的面積S=absinC=×2×2×=．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，三角形的面積公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及二倍角的余弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)注意角度的范圍．