Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，求函數(shù)在區(qū)間（其中，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上的最小值；

（2）若存在與函數(shù)，的圖象都相切的直線(xiàn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)題意得，利用導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論求得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的最小值；

（2）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處與函數(shù)在點(diǎn)處有相同的切線(xiàn)，分別求得，利用斜率相等，轉(zhuǎn)化為方程有解，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解。

（1）由題意，可得，

，

令，得.

①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，

∴.

②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴.

綜上，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

（2）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處與函數(shù)在點(diǎn)處有相同的切線(xiàn)，

則，∴，

∴，代入

得.

∴問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：關(guān)于的方程有解，

設(shè)，則函數(shù)有零點(diǎn)，

∵，當(dāng)時(shí)，，∴.

∴問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：的最小值小于或等于0.

，

設(shè)，則

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴的最小值為.

由知，故.

設(shè)，

則，故在上單調(diào)遞增，

∵，∴當(dāng)時(shí)，，

∴的最小值等價(jià)于.

又∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴.