試比較2n+2與n2的大小(n∈N*),并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.


當(dāng)n=1時(shí),21+2=4>n2=1;

當(dāng)n=2時(shí),22+2=6>n2=4;

當(dāng)n=3時(shí),23+2=10>n2=9;

當(dāng)n=4時(shí),24+2=18>n2=16.

由此可以猜想,2n+2>n2(n∈N*)成立.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

(1) 當(dāng)n=1時(shí),左邊=21+2=4,右邊=1,左邊>右邊,所以原不等式成立;

當(dāng)n=2時(shí),左邊=22+2=6,

右邊=22=4,左邊>右邊;

當(dāng)n=3時(shí),左邊=23+2=10,右邊=32=9,左邊>右邊.

(2) 假設(shè)n=k(k≥3且k∈N*)時(shí),不等式成立,

即2k+2>k2.那么當(dāng)n=k+1時(shí),

2k+1+2=2·2k+2=2(2k+2)-2>2·k2-2.

又因?yàn)?k2-2-(k+1)2=k2-2k-3=(k-3)(k+1)≥0,

即2k2-2≥(k+1)2,故2k+1+2>(k+1)2成立.

根據(jù)(1)和(2),可知原不等式對于任何n∈N*都成立.


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