橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>o)與x軸正向交于點A,若這個橢圓上存在點P,使OP⊥AP,O為原點,求離心率e的范圍.
考點:橢圓的簡單性質(zhì)
專題:向量與圓錐曲線
分析:以AO為直徑的圓方程為(x-
a
2
2+y2=
a2
4
,即x2+y2-ax=0,
x2
a2
+
y2
b2
=1
x2+y2-ax=0
化簡消去y,P、A是橢圓橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1與x2+y2-ax=0兩個不同的公共點,
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解.
由圖形得0<m<a,0<
ab2
a2-b2
<a,
即b2<a2-b2,可得a2-c2<c2,得a2<2c2
a
2
c,即可得到答案.
解答: 解:∵∠AP0=90゜,∴點P在以AO為直徑的圓上,
∵O(0,0),A(a,0),
∴以AO為直徑的圓方程為(x-
a
2
2+y2=
a2
4
,即x2+y2-ax=0,
x2
a2
+
y2
b2
=1
x2+y2-ax=0
消去y,得(b2-a2)x2+a3x-a2b2=0.
設(shè)P(m,n),
∵P、A是橢圓橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1與x2+y2-ax=0兩個不同的公共點,
∴m+a=
-a3
b2-a2
,ma=
a2b2
a2-b2
,可得m=
ab2
a2-b2

∵由圖形得0<m<a,∴0<
ab2
a2-b2
<a,
即b2<a2-b2,可得a2-c2<c2,得a2<2c2
∴a
2
c,解得橢圓離心率e=
c
a
c
2
c
=
2
2
,
又∵e∈(0,1),
∴橢圓的離心率e的取值范圍為(
2
2
,1).
點評:本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系,橢圓的幾何性質(zhì),運用方程組求解,難度較大.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在等差數(shù)列{an}中,已知S8=48,S12=168,
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)中心在原點,焦點在x軸上的橢圓短軸長等于a4,離心率e=
3
2
,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列命題中正確命題的個數(shù)為( 。
①N中最小的元素是1
②若a∈N,則-a∉N
③若a∈N,b∈N,則a+b的最小值是2.
A、0B、1C、2D、3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知集合A={x|2x
1
2
},B={x|log2x<1},則A∩B=( 。
A、(-1,2)
B、(1,2)
C、(0,2)
D、(-1,1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知⊙O:x2+y2=20與⊙C關(guān)于直線l:y=2x+5對稱.
(1)求⊙C方程;
(2)判斷兩圓是否相交,若兩圓相交,試求⊙O被公共弦分割成的兩段弧長;若不相交,則說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

數(shù)列{an}是公比為
1
2
的等比數(shù)列,且1-a2是a1與1+a3的等比中項,前n項和為Sn,數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,b1=8,前n項和Tn滿足Tn=nλ•bn+1(λ為常數(shù),且λ≠1).
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式及λ的值;
(Ⅱ)令Cn=
1
T1
+
1
T2
+…+
1
Tn
,求證:Cn
1
4
Sn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,AB=2,∠A=60°,F(xiàn)為AB的中點,且CF2=AC•BC,求AC的長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

拋物線y=x2的動弦為EF,分別過E,F(xiàn)作其切線,兩切線交于C點,已知
FC
=
CP
,
CE
=
EQ

(1)求證:直線PQ也與拋物線相切.
(2)若PQ切拋物線于G點,求
S△GEF
S△PCQ
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,兩座建筑物AB,CD的底部都在同一個水平面上,且AB、CD均與水平面垂直,它們的高度分別是9m和15m,從建筑物AB的頂部A看點D的仰角為α,看點C的俯角為β,已知α+β=45°,則BC的長度是
 
m.

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