Question

已知函數(shù)f（x）是（0，+∞）上的非常值函數(shù)，對任意x，y∈R，滿足f（xy）=f（x）+f（y），且0＜x＜1時，f（x）＜0．
（1）求f（1）；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)
（3）若f（3）=1，且f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）在f（xy）=f（x）+f（y）中，令x=y=1，可得f（1）的值；
（2）用作差法證明，設(shè)0＜x₁＜x₂＜+∞，則0＜

x1

x2

＜1，則f（

x1

x2

）＜0，f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）-f（x₂•

x1

x2

）即可得證；
（3）由（1）可得f（9）=2，進而可將f（a）＞f（a-1）+2，即為f（a）＞f（a-1）+f（9），又由f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，可得關(guān)于a的不等式組，解可得答案．

解答： 解：（1）在f（xy）=f（x）+f（y）中，
令x=y=1，可得f（1）=f（1）+f（1）
則f（1）=0；
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂＜+∞，則0＜

x1

x2

＜1，則f（

x1

x2

）＜0，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）-f（x₂•

x1

x2

）
=f（x₂）-f（x₂）-f（

x1

x2

）=-f（

x1

x2

）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
則f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)；
（3）由于f（3）=1，則f（9）=2f（3）=2，
則f（a）＞f（a-1）+2，即為f（a）＞f（a-1）+f（9），
即有f（a）＞f（9a-9），
又由f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，
則有

a＞0 a-1＞0 a＞9a-9

解得：1＜a＜

9

8

．
故a的取值范圍是（1，

9

8

）．

點評：本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，涉及函數(shù)單調(diào)性的判斷，其中熟練掌握函數(shù)性質(zhì)的定義及判斷方法是解答本題的關(guān)鍵．