Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面為梯形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，點(diǎn)在上，且.

（1）求證：平面；

（2）若平面平面，且，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）如圖所示，取的中點(diǎn)，連結(jié)、，所以根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；（2）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連結(jié)、，以N為原點(diǎn)，NA方向?yàn)?/span>x軸，NH方向?yàn)?/span>y軸，NP方向?yàn)?/span>z軸，建立空間坐標(biāo)系，找到平面的一個(gè)法向量，求出直線向量所成夾角的余弦值，即可求直線與平面所成角的正弦值.

（1）如圖所示，取的中點(diǎn)，連結(jié)、，

因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，且，所以且，

因?yàn)?/span>，所以，所以，

又因?yàn)?/span>，所以，所以四邊形為平行四邊形，

所以，又平面，平面，所以∥平面；

（2）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連結(jié)、，

因?yàn)?/span>，所以，

又平面平面，所以平面，

又，所以，

以N為原點(diǎn)，NA方向?yàn)?/span>x軸，NH方向?yàn)?/span>y軸，NP方向?yàn)?/span>z軸，建立空間坐標(biāo)系，

所以，，，，

在平面中，，,

設(shè)在平面的法向量為，所以，，

令，則法向量，又，

設(shè)直線與平面所成角為，

所以，

即直線與平面所成角的正弦值為.