Question

18．若四面體各棱的長是1或2，且該四面體不是正四面體，則其體積的值是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{11}}{12}$
• B． $\frac{\sqrt{14}}{12}$
• C． $\frac{\sqrt{11}}{6}$
• D． 以上都有可能

Answer 1

分析 分三種情況分別計算棱錐的體積即可．

解答 解：（1）若底邊長為2，2，2，側棱長為2，2，1；
設AB=1，AB的中點為E，則AB⊥CE，AB⊥DE，
∴AB⊥平面CDE，
∵CE=DE=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，CD=2，∴cos∠CED=$\frac{C{E}^{2}+D{E}^{2}-C{D}^{2}}{2CE•DE}$=$\frac{7}{15}$，
∴sin∠CED=$\frac{4\sqrt{11}}{15}$．
∴V=$\frac{1}{3}{S}_{△CDE}•AB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{15}}{2}×\frac{\sqrt{15}}{2}×\frac{4\sqrt{11}}{15}×1$=$\frac{\sqrt{11}}{6}$．
（2）若底邊長為1，1，1，側棱長為2，2，2；
設底面中心為O，則OB=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴棱錐的高h=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{11}{3}}$，
∴V=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×\sqrt{\frac{11}{3}}$=$\frac{\sqrt{11}}{12}$．
（3）若底面邊長為2，2，1，側棱長為2，2，1，
設AB=CD=1，其余各棱長均為2，由（1）可知cos∠CED=$\frac{C{E}^{2}+D{E}^{2}-C{D}^{2}}{2CE•DE}$=$\frac{13}{15}$，
∴sin∠CED=$\frac{2\sqrt{14}}{15}$，
∴V=$\frac{1}{3}{S}_{△CDE}•AB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{15}}{2}×\frac{\sqrt{15}}{2}×\frac{2\sqrt{14}}{15}×1$=$\frac{\sqrt{14}}{12}$．
故選：D．

點評 本題考查了棱錐的體積計算，屬于中檔題．