Question

已知橢圓C₁與雙曲線(xiàn)C₂有共同的焦點(diǎn)F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)為B，直線(xiàn)F₁B與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)平行，橢圓C₁與雙曲線(xiàn)C₂的離心率分別為e₁，e₂，則e₁+e₂取值范圍為（ ）
A．（2，+∞）
B．（4，+∞）
C．（4，+∞）
D．（2，+∞）

Answer 1

【答案】分析：設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸為2a，短軸為2b；雙曲線(xiàn)的實(shí)軸為2a'，虛軸為2b'．由橢圓、雙曲線(xiàn)的基本概念，結(jié)合直線(xiàn)平行的條件，建立關(guān)系式化簡(jiǎn)可得，即，可得e₁•e₂=1．由此結(jié)合基本不等式求最值，即可算出e₁+e₂取值范圍．
解答：解：設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸為2a，短軸為2b；雙曲線(xiàn)的實(shí)軸為2a'，虛軸為2b'
∵橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)為B，直線(xiàn)F₁B與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)平行，
∴，平方可得
由此得到，即，
也即，可得e₁•e₂=1
∵e₁、e₂都是正數(shù)，∴e₁+e₂≥2=2，且等號(hào)不能成立
因此e₁+e₂取值范圍為（2，+∞）
故選：D
點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓與雙曲線(xiàn)有公共的焦點(diǎn)，在橢圓的短軸端點(diǎn)B與F₁的連線(xiàn)平行雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)情況下，求離心率之和的范圍．著重考查了橢圓、雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．