Question

已知函數(shù)，其中．

（1）若時，記存在使

成立，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若在上存在最大值和最小值，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

⑴ ;⑵

【解析】

試題分析：⑴由已知先寫出，的解析式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導函數(shù)的關系分別求出的最大值和的最小值，只要使得最大值大于最小值，就能保證題設的條件成立；⑵函數(shù)的解析式中含有參數(shù)，所以做關于函數(shù)解析式的討論時一定要討論參數(shù)的取值，本題關于參數(shù)分三種情況進行討論，利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)討論函數(shù)的最值，解題時注意要全面討論，不能漏解.

試題解析：（1）由已知得解得,

當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增,

所以,                                3分

又顯然則在上是遞增函數(shù)，，所以,

存在使成立，實數(shù)的取值范圍是；            .6分

（2）解：，分類討論：

① 當時，,

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在只有最小值沒有最大值,..8分

當，;

② 當時，令，得，，與的情況如下：

	↗		↘

故的單調(diào)減區(qū)間是，；單調(diào)增區(qū)間是．

當時，由上得，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以在上存在最大值．又因為,

設為的零點，易知，且．從而時，；時，．

若在上存在最小值，必有，解得．

所以時，若在上存在最大值和最小值，的取值范圍是．       .11分

③ 當時，與的情況如下：

	↘		↗

所以的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是,

在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在上存在最小值．又因為,

若在上存在最大值，必有，解得，或．

所以時，若在上存在最大值和最小值，的取值范圍是．

綜上，的取值范圍是．                     14分

考點：利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)討論函數(shù)的最值.