Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x），當x≥0時，f(x)=

log2(x+1)(0≤x＜1) |x-3|-1(x≥1)

，則函數(shù)g(x)=f(x)-

1

2

的所有零點之和為

2

-1

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)f（x）的表達式，根據(jù)函數(shù)表達式作出函數(shù)的圖象，由圖象可知函數(shù)的對稱性，利用數(shù)形結(jié)合求出函數(shù)g（x）的所有零點即可．

解答：解：∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴當x＜0時，f（x）=

-log2(1-x)，-1＜x＜0 1-|x+3|，x≤-1

，
作出函數(shù)f（x）在R圖象如圖：
由g(x)=f(x)-

1

2

=0，
即f（x）=

1

2

，
由圖象可知函數(shù)f（x）=

1

2

有5個根，不妨設(shè)為x=a，b，c，d，e．且a＜b＜c＜d＜e，
則a，b關(guān)于x=-3對稱，d，e關(guān)于x=3對稱，0＜c＜1，
則

a+b

2

=-3，

d+e

2

=3，
∴a+b=-6，d+e=6，
∵0＜c＜1，
∴由f（c）=

1

2

，得log 2(c+1)=

1

2

，
即c+1=2 

1

2

=

2

，
∴c=

2

-1，
∴零點之和為a+b+c+d+e=-6+6+

2

-1=

2

-1．
故答案為：

2

-1．

點評：點評：本題考查函數(shù)的圖象，函數(shù)零點知識，考查函數(shù)與方程，數(shù)形結(jié)合的思想，準確畫好圖，把握圖象的對稱性是關(guān)鍵．