已知直線l:y=kx+1與雙曲線C:
x2
3
-y2=1
的左支交于點A,右支交于點B、
(Ⅰ)求斜率k的取值范圍;
(Ⅱ)若△AOB的面積為
6
(O為坐標原點),求直線l的方程.
分析:(I)將直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立得到關(guān)于x的二次方程,根據(jù)兩個交點的橫坐標異號,利用韋達定理得到兩個橫坐標的積,令其小于0求出k的范圍.
(II)根據(jù)直線l:y=kx+1的縱截距為1,利用三角形的面積公式表示出△AOB的面積,利用韋達定理表示出|x2-x1|,解方程求出k的值,得到直線l的方程.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2
y=kx+1
x2-3y2-3=0
?(1-3k2)x2-6kx-6=0

由題意
1-3k2≠0
△=36k2+24(1-3k2)>0?-
3
3
<k<
3
3
x1x2=
-6
1-3k2
<0

(Ⅱ)S△ABC=
1
2
×1×|x2-x1|

x1+x2=
6k
1-3k2
x1x2=
-6k
1-3k2

S△ABC=
1
2
(x1+x2)2-4x1x2
=
1
2
24-36k2
1-3k2
=
6-9k2
1-3k2
=
6
?k=0或k=±
2
2
,又-
3
3
<k<
3
3
∴k=0

則直線l的方程為y=1
點評:解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,一般采用的方法是將直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立,得到關(guān)于某未知數(shù)的二次方程,再利用韋達定理找突破口來解決.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知直線l:y=kx+k+1,拋物線C:y2=4x,定點M(1,1).
(I)當直線l經(jīng)過拋物線焦點F時,求點M關(guān)于直線l的對稱點N的坐標,并判斷點N是否在拋物線C上;
(II)當k(k≠0)變化且直線l與拋物線C有公共點時,設(shè)點P(a,1)關(guān)于直線l的對稱點為Q(x0,y0),求x0關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式x0=f(k);若P與M重合時,求x0的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知直線l:y=kx+1與橢圓
x2
2
+y2=1交于M、N兩點,且|MN|=
4
2
3
.求直線l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖所示,已知圓M:(x+1)2+y2=8及定點N(1,0),點P是圓M上一動點,點Q為PN的中點,PM上一點G滿足
GQ
NP
=0

(1)求點G的軌跡C的方程;
(2)已知直線l:y=kx+m與曲線C交于A、B兩點,E(0,1),是否存在直線l,使得點N恰為△ABE的垂心?若存在,求出直線l的方程,若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知直線l:y=kx+b是橢圓C:
x24
+y2=1
的一條切線,F(xiàn)1,F(xiàn)2為左右焦點.
(1)過F1,F(xiàn)2作l的垂線,垂足分別為M,N,求|F1M|•|F2M|的值;
(2)若直線l與x軸、y軸分別交于A,B兩點,求|AB|的最小值,并求此時直線l的斜率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知直線l:y=kx-1與雙曲線C:x2-y2=4
(1)如果l與C只有一個公共點,求k的值;
(2)如果l與C的左右兩支分別相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,且|x1-x2|=2
5
,求k的值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案