Question

【題目】已知函數f（x）=a（x+ ）+blnx（其中a，b∈R）
（Ⅰ）當b=﹣4時，若f（x）在其定義域內為單調函數，求a的取值范圍；
（Ⅱ）當a=﹣1時，是否存在實數b，使得當x∈[e，e2]時，不等式f（x）＞0恒成立，如果存在，求b的取值范圍，如果不存在，說明理由（其中e是自然對數的底數，e=2.71828…）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）= ，
若f（x）在其定義域內遞增，
則a≥ = =1，
故a≥1，
若若f（x）在其定義域內遞減，
則a≤ = ，
x+ →+∞時， →0，
故a≤0；
綜上，a≤0或a≥1；
（Ⅱ）f（x）=﹣（x+ ）+blnx＞0在x∈[e，e2]時恒成立，
即b＞ 在x∈[e，e2]時恒成立，
令h（x）= ，x∈[e，e2]，
h′（x）= ，
令 =t，則t∈[ ， ]，
∴ + =t2+2t∈[ + ， + ]，
∴l(xiāng)nx﹣（ + ）＞0，h′（x）＞0恒成立，
h（x）在[e，e2]遞增，
∴h（x）max=h（e2）=
∴b＞
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，問題轉化為則a≥ ，或a≤ ，求出a的范圍即可；（Ⅱ）問題轉化為b＞ 在x∈[e，e2]時恒成立，令h（x）= ，x∈[e，e2]，根據函數的單調性求出b的范圍即可．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．