Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)任意取值時，的圖象始終經(jīng)過一個定點，若的圖象在該定點處取得極值，求的值；

（2）求證：函數(shù)有唯一零點的充分不必要條件是.

Answer 1

【答案】（1）

（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)，得到定點，然后求導(dǎo)，根據(jù)的圖象在該定點處取得極值求解.

（2）分不必要性和充分性論證，證不必要性時，根據(jù)（1）取論證. 證充分性時，根據(jù)，所以已經(jīng)有零點1，只需要證明函數(shù)再無其它零點即可，然后.根據(jù)，分和兩種情況論證即可.

（1）由可得，，

所以的圖象始終經(jīng)過一個定點，

因為.

因為的圖象在該定點處取得極值，所以，所以，

當(dāng)時，，滿足：在左右側(cè)異號，

所以符合題意；

（2）不必要性：

當(dāng)時，，

在上，，在上，，

所以在上遞增，在上遞減，

所以，

所以當(dāng)時，函數(shù)有唯一零點1，

所以當(dāng)是函數(shù)有唯一零點的不必要條件；

充分性：

因為，所以已經(jīng)有零點1，下面只需要證明函數(shù)再無其它零點了.

因為且時，，

所以在上無零點，

因為，

當(dāng)，且時，，所以，

所以在遞增，所以當(dāng)時，，

所以在時也無零點，

所以時，有唯一零點1，

所以是有唯一零點的充分條件.