Question

已知a，b∈R，若矩陣M=（

-1 a b 3

）所對(duì)應(yīng)的變換把直線l：x+y=1變換為自身．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b
（Ⅱ）若向量e₁=（

1   1

），e₂=（

1   -1

），試判斷e₁和e₂是否為M的特征向量，并證明之．

Answer 1

考點(diǎn)：變換、矩陣的相等

專題：計(jì)算題,矩陣和變換

分析：（Ⅰ）任取直線l上的兩點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行變換列出兩個(gè)方程，通過(guò)解方程求得a，b的值；
（Ⅱ）利用矩陣的特征值與特征向量的定義，可得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）在直線l：x+y=1上任取兩點(diǎn)（1，0）和（0，1），
由（

-1 a b 3

）

1 0

=

-1 b

和=（

-1 a b 3

）

0 1

=

a 3

，…．（2分）
知點(diǎn)（-1，b）和點(diǎn)（a，3）均在直線l：x+y=1上，
所以

-1+b=1 a+3=1

，解得

a=-2 b=2

，
所以矩陣M=

-1 -2 2 3

．
經(jīng)檢驗(yàn)，所求矩陣M符合要求．…．（4分）
（Ⅱ）因=

-1 -2 2 3

1 1

≠λ

1 1

，=

-1 -2 2 3

1 -1

=

1 -1

，
所以

e1

不是M的特征向量，

e2

是M的特征向量．　　　…．（7分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查矩陣的特征值與特征向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．