Question

已知a，b，c分別是銳角△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，

2b-c

a

=

cosC

cosA

．
（1）求角A的大��；
（2）求y=sin²B+cos²C的取值范圍．

Answer 1

考點：正弦定理的應(yīng)用,二倍角的余弦

專題：綜合題,解三角形

分析：（1）由

2b-c

a

=

cosC

cosA

，根據(jù)正弦定理，利用和角的三角函數(shù)，即可求角A的大��；
（2）由y=sin²B+cos²C，轉(zhuǎn)化為B的三角函數(shù)，即可求出y=sin²B+cos²C的取值范圍．

解答： 解：（1）由正弦定理，得：

2sinB-sinC

sinA

=

cosC

cosA

…（2分）
即2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，
故2sinBcosA=sin（A+C）=sinB…（4分）
∵sinB≠0，∴cosA=

1

2

，
∴A=

π

3

…（6分）
（2）y=

1-cos2B

2

+

1+cos2C

2

=1+

1

2

[cos2(

2π

3

-2B)-cos2B]
=1-

1

2

(

3

2

sin2B+

3

2

cos2B)=1-

3

2

sin(2B+

π

3

)…（9分）
由

0＜B＜ π 2 0＜C= 2π 3 -B＜ π 2

⇒

π

6

＜B＜

π

2

⇒B+

π

3

∈(

2π

3

，

4π

3

)…（12分）
因此sin(2B+

π

3

)∈(-

3

2

，

3

2

)，故所求范圍為(

1

4

，

7

4

)．…（15分）

點評：本題考查正弦定理的應(yīng)用，考查三角函數(shù)的化簡，考查學(xué)生的計算能力，正確化簡函數(shù)是關(guān)鍵．