Question

已知橢圓：（）過點(diǎn)，且橢圓的離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若動(dòng)點(diǎn)在直線上，過作直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，再過作直線.證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

解：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，        所以，

        因?yàn)闄E圓的離心率為，        所以，即  ，

        解得，                                         

        所以橢圓的方程為.                      

  （Ⅱ）設(shè)，，

    ①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，

    由得，

所以，                          

因?yàn)?sub>，即為中點(diǎn)，所以，即.

    所以，                             

    因?yàn)橹本�，    所以，所以直線的方程為，

即 ，顯然直線恒過定點(diǎn).   

②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，

此時(shí)直線為軸，也過點(diǎn).                     

綜上所述直線恒過定點(diǎn).