Question

（本題滿(mǎn)分15分）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且
（1）求直線與平面所成角的余弦值；
（2）用表示平面和側(cè)面所成的銳二面角的大小，求；
（3）若分別在上，并滿(mǎn)足，探索：當(dāng)的重心為且時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）  （2），則（3） .                   

第一問(wèn)中利用以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系
設(shè)為平面的法向量，又正方體的棱長(zhǎng)為1，
借助于，得到結(jié)論
第二問(wèn)中，，是平面的法向量
，又平面和側(cè)面所成的銳二面角為
，則 
第三問(wèn)中，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823214858252492.png" style="vertical-align:middle;" />分別在上，且
故，
所以當(dāng)的重心為
然后利用垂直關(guān)系得到結(jié)論。
解：（1）以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系
又正方體的棱長(zhǎng)為1，
設(shè)為平面的法向量
 令，則

設(shè)直線與平面所成角為，
直線與平面所成角的余弦值為         （5分）
（2），是平面的法向量
，又平面和側(cè)面所成的銳二面角為
，則         （5分）
（3）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823214858252492.png" style="vertical-align:middle;" />分別在上，且
故，
所以當(dāng)的重心為，而
，
當(dāng)時(shí)，
為恒等式
所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為                    （5分）