已知曲線f(x)=x2+1和g(x)=x3+x在其交點處兩切線的夾角為θ,求cosθ.

思路分析:要求cosθ的值,需求兩切點及兩曲線的交點,利用向量的數(shù)量積求解.

解:由得x3-x2+x-1=0,即(x-1)(x2+1)=0,得x=1.

所以交點為P(1,2).

因為f′(1)==2,

所以其切線方程為l1:y-2=2(x-1),即y=2x.

因為g′(1)==4,

所以其切線方程為l2:

y-2=4(x-1),即y=4x-2.

取切線l1的方向向量為a=(1,2),切線l2的方向向量為b=(1,4),

則cosθ=.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
ax
+lnx-1，a∈R．
（1）若曲線y=f（x）在P（1，y0）處的切線平行于直線y=-x+1，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a＞0，且對x∈（0，2e]時，f（x）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線f（x）=xn+1（n∈N*）與直線x=1交于點P，若設(shè)曲線y=f（x）在點P處的切線與x軸交點的橫坐標為xn，則lgx1+lgx2+…+lgx9的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設(shè)曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設(shè)g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設(shè)h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線f（x）=xn+1（n∈N*）與直線x=1交于點P，若設(shè)曲線y=f（x）在點P處的切線與x軸交點的橫坐標為xn，則log2012x1+log2012x2+…+log2012x2011的值為
-1
-1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x
，g(x)=alnx，a∈R
（Ⅰ）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）相交，且在交點處有共同的切線，求a的值和該切線方程；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），當h（x）存在最小值時，求其最小值φ（a）的解析式；
（Ⅲ）對（Ⅱ）中的φ（a）和任意的a＞0，b＞0，證明：φ′(
a+b
2
)≤
φ′(a)+φ′(b)
2
≤φ′(
2ab
a+b
)．

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