Question

12．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求直線A₁B和平面ABCD所成的角；
（2）求直線A₁B和平面A₁B₁CD所成的角．

Answer 1

分析 （1）由A₁A⊥平面ABCD，A為垂足，得∠A₁BA是直線A₁B和平面ABCD所成的角，由此能求出直線A₁B和平面ABCD所成的角的大小．
（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線A₁B和平面A₁B₁CD所成的角的大�。�

解答 解：（1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵A₁A⊥平面ABCD，A為垂足，
∴∠A₁BA是直線A₁B和平面ABCD所成的角，
∵A₁A=AB，A₁A⊥AB，
∴∠A₁BA=45°，
∴直線A₁B和平面ABCD所成的角為45°．
（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，
則A₁（1，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），C（0，1，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{DC}$=（0，1，0），
設(shè)平面A₁B₁CD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
設(shè)直線A₁B和平面A₁B₁CD所成的角為θ，
則sinθ=|$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$|=$\frac{1}{2}$，
∴θ=30°，
∴直線A₁B和平面A₁B₁CD所成的角為30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)和向量法的合理運(yùn)用．