Question

為豐富農(nóng)村業(yè)余文化生活，決定在A，B，N三個村子的中間地帶建造文化中心．通過測量，發(fā)現(xiàn)三個村子分別位于矩形ABCD的兩個頂點A，B和以邊AB的中心M為圓心，以MC長為半徑的圓弧的中心N處，且AB=8km，BC=4

2

km．經(jīng)協(xié)商，文化服務(wù)中心擬建在與A，B等距離的O處，并建造三條道路AO，BO，NO與各村通達(dá)．若道路建設(shè)成本AO，BO段為每公里

2

a萬元，NO段為每公里a萬元，建設(shè)總費用為w萬元．
（1）若三條道路建設(shè)的費用相同，求該文化中心離N村的距離；
（2）若建設(shè)總費用最少，求該文化中心離N村的距離．

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)∠AOB=θ，三條道路建設(shè)的費用相同，則

4

cosθ

×

2

a=(4

3

-4tanθ)a，利用三角變換求解．
（2）總費用ω=2×

4 2 a

cosθ

+a(4

3

-4tanθ)，θ∈[0，

π

3

]，即ω=

8 2 -4sinθ

cosθ

a+4

3

a，求導(dǎo)判斷極值點，令ω′=

8 2 sinθ-4

cos2θ

a=0，得sinθ=

2

4

，再轉(zhuǎn)換為三角變換求值解決．

解答： 解：（1）不妨設(shè)∠AOB=θ，依題意得θ∈[0，

π

3

]，
且MC=4

3

，由AO=BO=4

3

=

4

cosθ

，NO=4

3

-4tanθ，
若三條道路建設(shè)的費用相同，則

4

cosθ

×

2

a=(4

3

-4tanθ)a
所以sin(

π

3

-θ)=

2

2

，所以θ=

π

12

．
由二倍角的正切公式得，tanθ=tan

π

12

=2-

3

即NO=8

3

-8，
答：該文化中心離N村的距離為(8

3

-8)km．
（2）總費用ω=2×

4 2 a

cosθ

+a(4

3

-4tanθ)，θ∈[0，

π

3

]
即ω=

8 2 -4sinθ

cosθ

a+4

3

a，
令ω′=

8 2 sinθ-4

cos2θ

a=0，得sinθ=

2

4

當(dāng)0≤sinθ≤

2

4

2，ω′＜0，當(dāng)

2

4

＜sinθ≤

3

2

時，ω′＞0，
所以當(dāng)sinθ=

2

4

時，ω有最小值，
這時，tanθ=

7

7

，NO=4

3

-

4 7

7

答：該文化中心離N村的距離為(4

3

-

4 7

7

)km．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)在實際問題中的應(yīng)用，轉(zhuǎn)換為三角函數(shù)最值求解．