Question

已知B₁（0，1），B₂（0，-1），M（1，0），動點P（x，y）滿足直線PB₁，PB₂的斜率之積為．
（1）求點P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)軌跡C與x軸的左，右兩個交點分別為A₁，A₂，過點M作直線l和軌跡C分別交于點D₁，D₂．
（�。┣笞C：直線A₁D₁，A₁D₂的斜率之積為定值；
（ⅱ）設(shè)直線A₁D₁，A₂D₂的交點為S，求證：點S在定直線上，并求出該定直線的方程．

Answer 1

（1）解：由題意，，即（x≠0）
∴點P的軌跡C的方程是（x≠0）；
（2）證明：（�。┯深}意，A₁（-2，0），A₂（2，0），
設(shè)l方程為x=my+1，代入，整理可得（m²+4）y²+2my-3=0
設(shè)D₁（x₁，y₁），D₂（x₂，y₂），則y₁+y₂=-，
∴x₁+x₂=，x₁x₂=-
∴直線A₁D₁，A₁D₂的斜率之積為===-；
（ⅱ）由（�。┲�，y₁+y₂=-，y₁y₂=-
直線A₁D₁的方程為y=，直線A₂D₂的方程為y=
下面求直線A₁D₁，A₂D₂的交點S的橫坐標(biāo)
令=，則==3
∴x=4，即點S在定直線上，該定直線的方程為x=4．
分析：（1）根據(jù)斜率公式，利用動點P（x，y）滿足直線PB₁，PB₂的斜率之積為，可得點P的軌跡C的方程；
（2）（�。┰O(shè)出直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，求出相應(yīng)的斜率，即可證得結(jié)論；
（ⅱ）求出直線A₁D₁，A₂D₂的方程，令函數(shù)值相等，即可證得點S在定直線上，并求出該定直線的方程．
點評：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線的方程，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．