Question

已知f（x）=ln（x+1），g(x)=

1

2

ax2+bx，
（Ⅰ）若b=2，且h（x）=f（x-1）-g（x）存在單調遞減區(qū)間，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若a=0，b=1時，求證：f（x）-g（x）≤0對于x∈（-1，+∞）恒成立；
（III）證明：若0＜x＜y，則xlnx+ylny＞(x+y)ln

x+y

2

．

Answer 1

分析：（I）求出h（x）的導函數(shù)，由于h（x）存在單調遞減區(qū)間等價于h′（x）＜0有解，通過對二次項系數(shù)的討論，求出a的范圍．
（II）構造函數(shù)φ（x），求出φ（x）的導數(shù)，列出x，φ′（x），φ（x）的變化情況表，求出φ（x）的最大值，證出不等式．
（III）作差，利用對數(shù)的運算性質化簡差，利用（II）的結論，證出要證的不等式．

解答：解：（Ⅰ）b=2時h(x)=lnx-

1

2

ax2-2x，h′(x)=

1

x

-ax-2，
∵h（x）有單調遞減區(qū)間，∴h′（x）＜0有解，即

1-ax2-2x

x

＜0有解，
∵x＞0，∴ax²+2x-1＞0有解，．（2分）
①a≥0時合題意
②a＜0時，△=4+4a＞0，即a＞-1，
∴a的取值范圍是（-1，+∞）．（4分）
（Ⅱ）設?（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-x
?′(x)=

1

x+1

-1=

-x

x+1

．

x	（-1，0）	0	（0，+∞）
?′（x）	+	0	-
?（x）	↗	最大值	↘

∵當x=0時，?（x）有最大值0∴?（x）≤0恒成立．
即f（x）-g（x）≤0對于x∈（-1，+∞）恒成立．（8分）
（III）xlnx+ylny-(x+y)ln

x+y

2

=x(lnx-ln

x+y

2

)+y(lny-ln

x+y

2

)
=xln

2x

x+y

+yln

2y

x+y

=-xln

x+y

2x

-yln

x+y

2y

=-xln(1+

y-x

2x

)-yln(1+

x-y

2y

)．（10分）
當0＜x＜y時，

y-x

2x

＞-1，

x-y

2y

＞-1，
由（2）知xlnx+ylny-(x+y)ln

x+y

2

≥-x•

y-x

2x

-y•

x-y

2y

=0．（12分）
等號在

y-x

2x

=

x-y

2y

=0，即x=y時成立．
而y＞x＞0，所以xlnx+ylny-(x+y)ln

x+y

2

＞0成立．（14分）

點評：解決不等式恒成立問題與不等式有解問題常轉化為求函數(shù)的相應的最值問題；證明不等式成立也常常通過構造函數(shù)，轉化為求函數(shù)的最值．