Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)（,為自然對數(shù)的底數(shù)）

（Ⅰ）若函數(shù)有三個極值點,求的取值范圍

（Ⅱ）若存在實數(shù),使對任意的,不等式恒成立,求正整數(shù)的最大值

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】

試題分析：對于第一問，將關(guān)于函數(shù)的極值點的個數(shù)，轉(zhuǎn)化為導數(shù)等于零的方程的根的個數(shù)，對于指數(shù)冪是大于零的，最后轉(zhuǎn)化成一個三次方程有三個根的問題，剩下的由三次函數(shù)的兩個極值點的符號來決定，對于第二問，存在和任意要分清，最值的方向要取對，最后轉(zhuǎn)化成不等式恒成立問題，又轉(zhuǎn)化成最值問題，注意是正整數(shù).

試題解析：（Ⅰ）

因為有個極值點，所以方程有個實根，

令，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以只要滿足，所以， 4分

（Ⅱ）不等式 ,即,即.

轉(zhuǎn)化為存在實數(shù),使對任意的,

不等式恒成立.

即不等式在上恒成立.

即不等式在上恒成立

設(shè),則.

設(shè),則,因為,有.

故在區(qū)間上是減函數(shù)

又

故存在,使得.

當時,有,當時,有.

從而在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減

又

所以當時,恒有;當時,恒有;

故使命題成立的正整數(shù)的最大值為5

考點：函數(shù)的極值點，函數(shù)的圖像走向，恒成立問題的轉(zhuǎn)化.