Question

如圖，在直角梯形ABEF中，將DCEF沿CD折起，使∠FDA=60°，得到一個空間幾何體．
（1）求證：BE∥平面ADF；
（2）求證：AF⊥平面ABCD．

Answer 1

解：（1）由已知條件可知BC∥AD，CE∥DF，折疊之后平行關(guān)系不變
又因為BC?平面ADF，AD?平面ADF，所以BC∥平面ADF；同理CE∥平面ADF．
又∵BC∩CE=C，BC，CE?平面BCE，
∴平面BCE∥平面ADF．
∴BE∥平面ADF．
（2）由于∠FDA=60°，F(xiàn)D=2，AD=1，
∴AF²=FD²+AD²-2×FD×AD×cos∠FDA=4+1-2×
即AF=
∴AF²+AD²=FD²，∴AF⊥AD．
又∵DC⊥FD，DC⊥AD，AD∩FD=D
AD，DF?平面ADF
∴DC⊥平面ADE，AF?平面ADF，
∴DC⊥AF，
∵AD∩DC=D，AD，DC?平面ABCD．
∴AF⊥平面ABCD．
分析：（1）根據(jù)BC∥AD，CE∥DF，折疊之后平行關(guān)系不變，又因為BC?平面ADF，AD?平面ADF，所以BC∥平面ADF；同理CE∥平面ADF，又BC∩CE=C，BC，CE?平面BCE，根據(jù)面面平行的判定定理可知平面BCE∥平面ADF，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知BE∥平面ADF．
（2）由于∠FDA=60°，F(xiàn)D=2，AD=1，根據(jù)余弦定理求出AF，而AF²+AD²=FD²，滿足勾股定理則AF⊥AD，又DC⊥FD，DC⊥AD，AD∩FD=D；AD，DF?平面ADF，從而DC⊥平面ADE，AF?平面ADF，則DC⊥AF，AD∩DC=D，AD，DC?平面ABCD，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AF⊥平面ABCD．
點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及直線與平面垂直的判定，同時考查了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力，屬于中檔題．